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本文为高二时期数列专题报告. 本文文字为按原文件抄写而成，若有误请告知. 本文尽量还原原文格式.

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(相关资料图)

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第三章 碰撞次数与圆周率

3.1 总碰撞次数

总碰撞次数指 m₁ 与 m₂ 的碰撞次数加上 m₁ 与墙壁的碰撞次数。为方便表示，记总碰撞次 数为 C(N)，m₁ 与 m₂ 间的碰撞次数为 M(N)，m₁ 与墙壁的碰撞次数为 W(N)。即 C(N) = M(N) + W(N)。

3.1.1 m₁ 与 m₂ 的碰撞次数

情况一

若 m₁ 和 m₂ 某次碰撞后 vₙ ≤ 0，Vₙ ≥ 0 且 vₙ ≤ Vₙ，那么它们将不会再次发生碰撞。据通项 公式: vₙ = −u√N sin nθ，Vn = u cos nθ，得:

即 nθ 为第三象限角，有：

当 k=1 时能取得最小正值，即：

我们只需去符合条件的最小正整数 n，即：

由于此时 m₁ 与墙壁的碰撞次数也为 M(N)，故：

情况二

若 m₁ 和 m₂ 某次碰撞后 vₙ, Vₙ ≥ 0，vₙ ≤ Vₙ，那么它们也不会再发生碰撞。据通项公式得:

由此确定 nθ 为第二象限角，设 N > 1，化简得：

因为 nθ 为第二象限角，故

由於 n 為正整數，取其最小正値，得:

此時，除去第一次外，m₁ 每次與 m₂ 發生碰撞前都必與墻壁發生碰撞，即 W(N) = M(N) − 1，得：

3.1.2 C(N) 的取值

我们可以尝试求得 3.5和 3.6在 N 越来越大时的近似値。当 N → ∞ 时，arctan 1/√N → 0，根据 WolframAlpha计算所得，在 N ≥ 0 时，arccos (N − 1) / (N + 1) ∼ 2√N / (N + 1)，故可以作如下近似:

分别代入 100ᵏ，k ∈ ℕ⁺ 可得下表：

利用 Python模拟碰撞也能得到相同结果1(以下为 0 ≤ k ≤ 6 的结果):

代码请见附录页。